什么样的函数不可积

在实分析中，一个函数如果不能被黎曼积分或勒贝格积分定义，则被称为不可积函数。这些函数通常包括以下类型：

1. 无界函数：如果一个函数在某个区间上无界，则它不可积。例如，函数f(x) = 1/x在区间(0，1]上无界，因此不可积。

2. 不连续函数：如果一个函数在某些点上不连续，则它不可积。例如，阶梯函数（step function）在跳跃点上不连续，因此不可积。

3. 发散函数：如果一个函数在某些点上发散，则它不可积。例如，函数f(x) = 1/sin(x)在x = nπ (n是整数)的点上发散，因此不可积。

4. 多值函数：对于一些多值函数，例如f(x) = sqrt(x)，由于存在两个不同的根，无法定义唯一的积分，因此不可积。

5. 首变函数：如果一个函数在某点上的导数不存在，则它在该点上不可积。例如，绝对值函数在x = 0点上的导数不存在，因此不可积。

6. 带间断的无界函数：如果一个函数在某点上发散且不连续，则它不可积。例如，函数f(x) = 1/x在x = 0的点上既发散又不连续，因此不可积。

7. 非可测函数：如果一个函数不是可测函数，则它不可积。可测函数是一个在测度空间中可以测量的函数，它通常关联着积分定义。对于不可测函数，积分无法定义。

总之，不可积函数存在于不同的数学领域中，并且具有不同的特征和属性。这些函数可能是无界、不连续、发散、多值、首变、带间断的无界或非可测的。了解这些函数的性质对于理解积分的定义和应用是非常重要的。